圆锥曲线难题

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1）双曲线的渐近线方程为 y = (b/a)x ，y = -(b/a)x

由于直线AB垂直于L1 ，故直线AB的方程为：y = -(a/b)*(x - c)

这是因为两条垂直的平面直线其斜率的积是 -1。

将两条渐近线方程分别与直线AB的方程联立，求得A，B两点坐标

A（(a^2)/c，ab/c） B((ca^2)/(a^2 - b^2) ，-abc/(a^2 - b^2))

已知向量OA 、AB、OB的模成等差数列，故由直角三角形勾股定理的性质，不妨设：

OA = 3k AB = 4k OB = 5k 这里k等于某一非零正常数

固有：OA^2/OB^2 = 9/25 ，将A B的坐标代入，求得OA与OB，求得：

(a^2 + b^2)/(a^2 - b^2) = 5/3

整理得：离心率e = c/a = √5 / 2

(2) 由上问得到的结果，不妨再设：

a = 2m b = m c = √5m 这里m等于某一非零常数

因此双曲线方程可以写成：

x^2/4m^2 - y^2/m^2 = 1，再将直线AB的方程代入该式，经整理有：

15x^2 - 32√5x + 84m^2 = 0

x1 + x2 = m(32√5)/15 x1x2 = 84m/15

由于双曲线的弦长公式为：|x1 - x2|√(1 + k^2)

|x1 - x2| = √[(x1 + x2)^2 - 4x1x2]

将两根之和与两根之积的结果代入上式，得到：

弦长 = 4 = (4/3)m，m = 3

故双曲线方程为：x^2/36 - y^2/9 = 1

1、证明：见下图，做直线L:x=-p/2;做MG//x轴，交L于G；做NH//x轴，交L于H；根据抛物线的定义：

|MF|+|NF|=|MG|+|NG|=|Mx-(-p/2)|+|Nx-(-p/2)|=|Mx+p/2|+|Nx+p/2|=Mx+Nx+p=2(4-p/2)+p=8=定值。证毕。

2 、解:设:x=my+b...(1),点M、和N的横作别分别为Mx和Nx; 因为点A的中点横坐标为4-2p/2=(8-p)/2=(Nx+Mx)/2(中点坐标公式);即有:Mx+Nx=8-2/2=7;因为,Nx>=Mx>=0, Mxmin=0; Mxmax=Nx=7/2;当Mx=Nx=7/2;对于x=my+b, y^2=4(my+b); y^2-4my-b=(y-2m)^2-4m^2-b=0; b+4m^2=0;b=-4m^2, y=2m; 代入(1); x=m(2m)+b=2m^2+b=-2m^2=b/2=7/2; 与b<0矛盾；m不存在;因此，令：x=b；y^2=4b,y=+/-2√b; x=b=7/2;

由（1）得：y=0时,x=-b,将x=my-b...(2);将Mx=7/2，代入抛物线方程：y^2=4x=4*(7/2)=14; y=√14(负值舍去); 由式(2),得：7/2=m√14-b; m=(7+2b)/2√14; x=(7+2b)y/2√14-b...(3);代入抛物线方程,得：y^2=4[(7+2b)y/2√14-b]；y^2-[2(7+2b)/√14]y+4b=0; 此时，直线与抛物线相切。△=[-2(7+2b)/√14]^2-4*4b=2(7+4b+4b^2/7)-16b=(8/7)b^2-8b+14=0;

△b=(-8)^2-4*8/7*14=64-64=0; b=8/(2*8/7)=7/2; 将b=7/2代入(3),得：x=√14y/2-7/2;?

b的取值范围：[-7/2,7/2]。

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